เพื่อให้เข้าใจได้ง่ายและกระชับ เราจะไม่อธิบายนิยามแต่ละอันไปทีละนิดนะคะ แต่จะชี้ให้เห็นลอจิกทั้งสองรูปแบบ และตอนต่อไปจึงจะเน้นอธิบาย First-Order logic เลยทีเดียว
ก่อนอื่นเรามารู้จักกับคำว่า Formal language กันก่อน ซึ่งก็คือ ภาษาที่ถูกออกแบบมาเพื่อใช้นำเสนอข้อเท็จจริงต่างๆ(arguments) ซึ่งการออกแบบ formal language นี้จำเป็นต้องประกอบไปด้วย 3 ส่วน คือ
1. Lexicon คือ กลุ่มคำศัพท์ที่ใช้ในภาษา
2. Syntax คือ ไวยากรณ์ หรือจะเรียกว่า grammar นั่นเอง
3. Semantic คือการเชื่อมโยงกันระหว่างคำศัพท์กับความหมาย
ดังนั้น ภาษาลอจิก ทั้ง Propositional logic และ First-Order logic ก็จำเป็นที่จะต้องมีทั้งสามส่วนนี้
สมมติว่า เรามีประโยค P= นกแก้วเป็นนก Q=นกทุกตัวสามารถบินได้
ด้วย Propositional logic เราสามารถนำเสนอประโยค P ได้ แต่ไม่สามารถนำเสนอประโยคQ
ในขณะที่ First-Order logic สามารถที่จะนำเสนอได้ทั้ง P และQ
ดังนั้นจะเห็นว่า ปัญหาคือ propositional logic ไม่มีโครงสร้างที่ใช้บ่งบอกปริมาณของนามในประโยค
เรามาพิจารณาโครงสร้างของลอจิกทั้งสองแบบในแต่องค์ประกอบของการออกแบบกันเลยนะคะ
1. Lexicon ไม่มีอะไรแตกต่างกัน ทั้ง Propositional และ First-order จะสนใจแค่ กลุ่มของ symbols ที่ถูกใช้เป็นสัญลักษณ์ในการนำเสนอ statements เท่านั้น
2. Syntax มีความแตกต่าง โดยเฉพาะ First-Order logic มีนิยามขององค์ประกอบมากกว่า ดังสรุปในแผนภาพ
Formula (Well-formed formula) สามารถที่จะสร้างขึ้นมาได้จากเงื่อนไข 4 ข้อต่อไปนี้
- Atom อันนึงก็ถือเป็น formula
- ถ้าเรามี formula G ใดๆ แล้ว (~G) ก็เป็น formula เหมือนกัน
- ถ้าเรามี formula สองอันใดๆ แล้ว การนำ formula 2 อันนั้นมาเชื่อมกันด้วย logical connectives (and , or , if, iff ) ก็ถือเป็น formula เช่นกัน
- เราจะสร้าง formula ทั้งหมดได้จากการใช้กฎทั้ง 3 ข้างต้นเท่านั้น
และ Atom เอง ก็ไม่ใช่แค่ statement เฉยๆ แต่ว่ามีโครงสร้างที่ซับซ้อนขึ้นเมื่อ
Atom ต้องเป็น Predicate ซึ่ง Predicate นั้นเป็นสัญลักษณ์ที่รับค่า n จำนวนใดๆ และ Predicate เองก็จะทำการ map ค่าไปเป็นคำตอบแค่ จริงหรือเท็จเท่านั้น
ค่าที่จะใส่ลงไปใน Predicate เราเรียกว่า Term ซึ่ง term นั้นสามารถเป็น ค่าคงที่ หรือ ตัวแปร หรือฟังก์ชัน ก็ได้
3. Semantic ในลอจิกส่วนนี้ก็คือ Interpretation นั่นเอง ซึ่งมีความแตกต่างระหว่างลอจิกทั้งสองแบบ เนื่องจากว่าโครงสร้างไวยากรณ์ก็ไม่เหมือนกัน
Propositional Logic มี formula ที่ถูกสร้างมาจาก Atom ซึ่งเป็นแค่ statement เพราะฉะนั้น เราก็เพียงแค่ใส่ค่า ความจริงให้กับแต่ละ atom ว่า Atom/ Statement นั้นเป็นจริงหรือเท็จ แล้วก็ทำการประมวลผลตามหลักตรรกศาสตร์ธรรมดา
ตัวอย่างเช่น
เรากำหนดให้ มี Atom คือ P , Q โดยที่ P และ Q แทนค่า statement ดังนี้
P= นกแก้วเป็นนก ( A parrot is a bird)
Q=นกบินได้ (A bird can fly)
กำหนดให้ formula G = P ∧ P->Q
และตารางกำหนดค่าความจริงของ Propositional Interpretation คือ
First-Order Logic นั้น formula ถูกสร้างมาจาก Atom ที่ซับซ้อน ดังนั้นการทำ interpretation ต้องมีการกำหนดค่า Domain ให้กับตัวแปร(variable) , ค่าคงที่ (constant), ผลลัพธ์ของ function และค่าความจริงของ predicate ร่วมด้วย
จากตัวอย่างข้างต้น
เรากำหนดให้ formula G = (∀x) (P(x) -> Q(x))
ให้ predicate P(x) = x เป็นนก (x is a bird) และให้ Q(x) = x บินได้ (x can fly)
ถ้าเรามี domain D = {นกแก้ว (parrot) , เพนกวิน (penguin)}
และมีตารางค่าความจริงของ predicate ของ First-Order Interpretation คือ
ทีนี้ก็พอจะเห็นความเหมือนและความแตกต่างของลอจิกทั้งสองแบบอย่างคร่าวๆแล้วนะคะ แนะนำว่าให้อ่านเพิ่มเติมอย่างละเอียดจะดีกว่า หนังสือแนะนำ ที่นี่ นะคะ
