symbolic logic กับ classical logic มันคืออะไรกัน แตกต่างกันยังไงนะ

โพสนี้อยู่ในหมวด เรียนรู้ logic programming + argumentation นะคะ

จริงๆตอนแรกอยากจะตั้งชื่อโพสวันนี้ว่าบันทึกบทสนทนาเวลาเบื่อๆ ของชาว logic แต่ก็เกรงใจกลัวว่าเดี๋ยวอาจจะเข้าใจผิดได้ว่า เอ... ทำไมต้องเป็นชาว logic ถึงจะคุยอะไรแบบนี้ แต่จริงๆเจตนาเราคือ อยากจะล้อเล่นน่ะค่ะ  เนื่องจากว่า  วันนี้อาจารย์เราเกิดความรู้สึกเบื่อๆ อยู่ในภาวะไม่มีอะไรทำ พอดีคุยโทรฯกันเรื่องงาน เราก็เลยแก้เบื่ออาจารย์ด้วยการถามคำถามไปซะเลย  ฮ่าๆๆๆ

เพราะเราอยากจะรู้(โดยไม่ต้องไปอ่านเองตั้งมากมาย) ว่า symbolic logic กับ classical logic มันต่างกันยังไงนะ 

เพื่อป้องกันไม่ให้ตัวเองลืม และเพื่อเป็นการแลกเปลี่ยนความรู้กันกับผู้อ่าน เราก็เลยคิดว่า ควรจะบันทึกบทสนทนาแก้เบื่อวันนี้ไว้ในบล็อกดีกว่า :)

เอาล่ะ เข้าเรื่องเลยนะคะ มาเริ่มที่คำแรกก่อน symbolic logic  ผู้อ่านบางท่านอาจจะเคยได้ยินคำนี้ และอาจจะเคยอ่านหนังสือที่เราแนะนำไปแล้วด้วย

แล้วสงสัยกันไหมคะ ว่าคำๆนี้ สื่อถึงอะไร

สั้นๆเลยก็คือ symbolic logic เนี่ย คือ logic ที่เราสามารถนำเสนอมันได้ด้วย symbol ค่ะ ซึ่งถ้าเรามองดู logic ประเภทต่างๆที่เราเคยเห็นผ่านหูผ่านตากันมา มันก็มีแต่ logic ที่แทนค่าด้วย symbol กันทั้งนั้น

ยกตัวอย่างเช่น propositional logic , first order logic , second order logic, description logic , modal logic, logic programming, etc. ลอจิกต่างๆเหล่านี้ เวลาเรา represent มัน เราก็ใช้ symbol นำเสนอ ใช่ไหมคะ

อย่าง propositional logic เราก็ใช้ ตัวอักษร อย่างเช่น p, q อะไรต่างๆ แทน proposition แต่ละอัน ตัว logical connection ก็ แทนด้วย symbol อย่างพวก and, or, implication อะไรทำนองนี้

แน่นอนว่า first order logic ก็ไม่ต่างกันมาก เพราะคล้ายกับ propositional logic ที่เพิ่ม quantifier ขึ้นมา

ดังนั้น ถ้าให้นิยามโดยไอเดียแล้ว symbolic logic คือ การ reasoning  ที่เรานำเสนอมันด้วย symbol ต่างๆ นั่นเอง


ต่อมา เราก็มาดู อีกคำนึงที่มักจะได้ยินกันบ่อยๆ รวมถึงในหลายๆโพสที่เราเคยเขียนไว้ก่อนหน้าด้วย
แล้ว classical logic คืออะไรกัน

คำจำกัดความของคำนี้ก็อาจจะเป็นที่ถกเถียงได้นะคะ  เราเองไม่ได้หาหลักฐานยืนยัน แต่ว่าขอยืนยันด้วยความเห็นของผู้เชี่ยวชาญด้านนี้(ซึ่งก็คืออาจารย์นั่นเอง)  ถ้าผู้อ่านท่านใดมีความคิดเห็นต่าง อยากจะหาข้อสรุปกันเราก็ยินดีค่ะ

ก่อนอื่น เราต้องย้อนไปที่คำว่า monotonic reasoning ก่อนค่ะ หวังว่าคงจะยังจำความหมายคำนี้ได้นะคะ
คือว่า classical logic เนี่ย จะมีลักษณะของ monotonic reasoning ค่ะ แต่ว่า.... ไม่ได้หมายความว่า logic ที่มีลักษณะเป็น monotonic reasoning จะถูกจัดเป็น classical logic เสมอไป

รายละเอียดเรื่อง monotonic reasoning หาอ่านได้จากโพสนี้ค่ะ

ตรงนี้เราจะขอขยายความให้ว่า ยกตัวอย่างเช่น description logic(ไม่นับ extension ของมันก่อนนะคะ)  มีลักษณะเป็น monotonic reasoning แต่ว่า มันไม่ได้ถูกนับเป็น classical logic

เพราะว่า... เดิมทีคำว่า classical logic เนี่ยใช้เรียก logic ที่นัก logician เป็นคนคิดกัน เมื่อ 20-30 ปีก่อนมาแล้ว ทีนี้ ตอนหลังๆ อย่าง description logic ก็ถึงจะคลอดออกมาใช้กันในวงการนักคอมพิวเตอร์


ซึ่ง logic หลายๆตัว ในช่วงหลังๆ ก็จะมี extension ของมัน ซึ่งจากลักษณะเดิม ที่เป็น monotonic reasoning เขาก็ปรับให้ extension มันกลายเป็น non-monotonic reasoning อย่างเช่น description logic เป็นต้น

ดังนั้น เพื่อความเข้าใจง่ายๆ เราก็จะขอสรุปว่า classical logic หมายถึง logic สมัยเก่า 20-30 ปีที่แล้ว ที่มีลักษณะเป็น monotonic reasoning ค่ะ

หวังว่า จะช่วยคลายความสงสัยให้กับหลายๆคน รวมถึงตัวเราเองด้วยนะคะ
จบบทสนทนาวันเบื่อๆ กันแค่นี้นะคะ (เป็นโพสเกี่ยวกับลอจิก ที่สั้นที่สุดแล้ว ฮ่าๆๆ)


ถ้าหากโพสนี้มีข้อผิดพลาดประการใด เราขอรับผิดชอบแต่ผู้เดียวนะคะ เพราะเราเกรงว่า สิ่งที่บันทึก เราอาจจะจำผิดพลาด จากบทสนทนาจริงๆได้ เพราะบันทึกจากความจำและที่เราคิดว่าเราเข้าใจค่ะ

ขอให้สนุกกับลอจิกนะคะ :)

ว่าด้วยเรื่อง complete lattice and fixpoint theory -- Logic Programming

โพสนี้อยู่ในหมวด เรียนรู้ logic programming + argumentation นะคะ
ก่อนอื่น เรามารู้จักคำว่า order กันก่อน  ซึ่ง order ก็คือการที่เราสามารถเปรียบเทียบสิ่งของสิ่งได้
เช่น 0 น้อยกว่า 1 หรือ ดาวอังคารอยู่ห่างจากดวงอาทิตย์ มากกว่าที่อยู่ห่างจากโลก

คิดว่าทุกคนคงทราบความหมายของ set กับ relation กันดีอยู่แล้ว ซึ่ง order เองก็คือ relation ประเภทหนึ่ง  

ทีนี้เรามาดูนิยามของคำว่า partial order ซึ่งคือ relation ที่จะต้องมีคุณสมบัติ
- reflexive (มีการเปรียบเทียบตัวเองกับตัวเอง)
- antisymmetric (ถ้าลำดับ X น้อยกว่า Y แล้วลำดับ Y ต้องไม่น้อยกว่า X  แต่ถ้าเกิดพบกว่าลำดับของ X น้อยกว่า Y และลำดับของ Y ก็น้อยกว่า X แสดงว่า Xและ Y นั้นคือค่าเดียวกัน)
-transitive (ถ้าลำดับของ X น้อยกว่า Y, ลำดับของ Y น้อยกว่า Z แล้วลำดับของ X ต้องน้อยกว่าลำดับของ Z)

ตัวอย่างของ partial order ก็อย่าง ความสัมพันธ์ของ subset  หรือการเปรียบเทียบ น้อยกว่าหรือเท่ากับของตัวเลขจำนวนเต็ม
เช่น {(1,1),(1,2),(2,2),(2,3)} ก็จะเห็นว่า  1 ≤ 1 , 1 ≤ 2,  2 ≤ 2 , 2 ≤ 3

ทีนี้เรามาทำความรู้จัก upper bound กันดีกว่านะคะ
ถ้าเรามี partial order สมมติชื่อว่า S เราดึงแค่ subset ของเซต S นี้ออกมา สมมติให้ชื่อ subset นี้ว่า X แล้วพบว่า สมาชิกทุกตัวใน X นี้มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ ค่าๆหนึ่งซึ่งเป็นสมาชิกของ S เช่นกัน เราจะเรียกค่านั้นว่า upper bound
ยกตัวอย่าง เช่นถ้าเรามีค่า A,B,C ซึ่ง  A  ≤ B ≤ C
แล้วเรามี {A , B, C} ถ้าถามว่า upper bound ของ { A } คือค่าอะไร ก็สามารถตอบได้ว่าคือ A, B , C
และในบรรดา upper bound ทั้งหมด upper bound ที่มีค่าน้อยที่สุด คือ  least upper bound
ดังนั้นจากตัวอย่างนี้ least upper bound คือ A

ถ้าเราต้องการหา lower bound ก็คล้ายๆกันเปลี่ยนแค่จากน้อยกว่าเป็นมากกว่า  จะได้ว่าถ้าพบว่า สมาชิกทุกตัวใน X นี้มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ ค่าๆหนึ่งซึ่งเป็นสมาชิกของ S เราจะเรียกค่านั้นว่า lower bound และในบรรดา lower bound ทั้งหมด lower bound ที่มีค่ามากที่สุด จะเรียกว่า greatest lower bound
จากตัวอย่างนี้ ถ้าถามว่าlower bound ของ{ A} คือค่าอะไร lower bound คือ A และ greatest lower bound ก็คือ A
ในขณะที่ lower bound ของ {B} = A, B และ greatest lower bound ก็คือ B

ทีนี้ถ้าเรามีเซต S ใดๆ แล้วเราหา power set of S  ( 2^S) ก็จะเห็นว่า 2^S  มีคุณสมบัติเป็น partial order 
ยกตัวอย่างเช่น S = {A,B} ดังนั้น = {∅, A, B, {A,B} } เป็น partial order เพราะ   ∅ ⊆ {A}⊆ {B}  ⊆ {A,B}

ก่อนจะไปหา lower bound, upper bound   ของ 2^S ขอยกตัวอย่างอีกสักตัวอย่าง
ถ้าเรามีเซต A , B สมมติว่า A ⊆C , B ⊆C
จะเห็นว่า C is upper bound of A , C is upper bound of B
ถ้าเราจับ A ∪ B   แล้ว จะพบว่า upper bound = A ∪ B , C  
และมี  least upper bound =  A ∪ B 

เช่นกันค่ะ เราจะได้ว่า ∅ is lower bound of A และ ∅ is lower bound of B

ถ้าเราจับ A ∩ B แล้ว lower bound of  = ∅, A ∩ B   
และมี greatest lower bound =  A ∩ B

จากแค่ทำกับสองเซต A,B ใช้หลักการเดียวกันไม่ว่าจะมีกี่เซต ซึ่งเราสามารถที่จะหาค่า least upper bound และ greatest lower bound ของทุกๆ subset of  2^S ได้ ซึ่งถ้าเรา หา intersection ของสมาชิกทุกตัวใน  2^S เราก็จะได้ greatest lower bound = ∅ และถ้าหา union ของสมาชิกทุกตัวใน  2^S  ก็จะได้ least upper bound = S นั่นเอง

ซึ่งถ้าเรามี partial order  L ใดๆ ที่สามารถหา least upper bound และ greatest lower bound ของทุกๆ subset ของ ของ order L นั้นได้ เราเรียกว่าคุณสมบัตินี้ว่า complete lattice

จากตัวอย่างข้างต้น เราก็เห็นกันแล้วนะคะว่า 2^S มีคุณสมบัติ complete lattice ทีนี้เราจะพูดถึง fix point theory กันบ้าง

fix point theory นิยามไว้ว่า ถ้าเรามี complete lattice ใดๆสมมติชื่อ L และมี mapping ให้ชื่อว่า T จากโดเมนคือ Lไปยังเรนจ์ คือ L  (T: L -> L) ณ จุดๆที่ เราใส่ค่า x ใดๆในโดเมนไปแล้ว map ได้ x เราจะเรียกค่า x นี้ว่า fix point of T พูดง่ายๆก็คือ ณ ตำแหน่งที่ T(x) = x นั่นเองค่ะ 

ทีนี้ fix point เนี่ย ก็มีได้หลายค่า เราก็จะเรียกค่า fix point ที่น้อยที่สุดในบรรดาค่า fix point ทั้งหมดว่า least fix point และเช่นกัน เราจะเรียกค่า fix point ที่มากที่สุดในบรรดาค่า fix point ทั้งหมดว่า greatest fix point

ทีนี้ เรากลับมาที่คำอธิบายเรื่อง complete lattice ของเรากันนะคะ เรารู้แล้วว่า 2^S มีคุณสมบัติ complete lattice แล้วถ้าเรามี mapping T: 2^S  -> 2^S ก็แสดงว่า ทั้ง input และ output (หรือโดเมนและเรนจ์) ของการ mapping นี้ จะมีคุณสมบัติ complete lattice แน่นอน เพราะว่ามันเป็น subset ของเซต ซึ่งก็จะทำให้เราสามารถหา greatest lower bound, least upper bound ได้เสมอ ซึ่งคุณสมบัติตรงนี้จะใช้อธิบายในหลายๆเรื่องของทฤษฎีในหนังสือ logic programming

ขอเล่าแถมอีกหน่อย เรื่อง fix point theory ว่าสำคัญไฉน
fix point เนี่ยมีความสำคัญในหลายๆแขนงของคณิตศาสตร์
เรารู้แล้วใช่ไหมคะว่า partial order คืออะไร และ complete lattice คืออะไรและเกี่ยวข้องกับ fix point ยังไง
ทีนี้เราลองมาดู fix point ในงานด้านอื่นบ้าง ถ้าเรามีจุด สองจุด บนแกน x,y อยากจะเทียบว่าจุดไหนใหญ่กว่า(ไม่แน่ใจว่าใช้คำว่าใหญ่กว่าจะดีไหม) วิธีการเทียบคือ ถ้า ค่าบนแกน x ของจุดแรกมากกว่าเท่ากับจุดสอง และ ค่าบนแกน y ของจุดแรกมากกว่าเท่ากับจุดสอง เราก็จะถือว่าจุดแรกใหญ่กว่า
อย่างเช่น จุด (2,2) ใหญ่กว่า จุด (1,1)

ทีนี้เราเทียบสองจุดได้แล้ว เราก็จะสามารถเทียบหลายๆจุดได้ใช่ไหมคะ เมื่อเราเทียบจุดหลายๆจุดได้ เราก็จัดลำดับเซตของจุดเหล่านี้ได้  และเราก็จะได้ partial order ใช่ไหมคะ เมื่อเราได้  partial order ของความสัมพันธ์ของจุดบนระนาบ x,y  (ซึ่ง ณ จุดนี้ก็คล้ายกับความสัมพันธ์ subset ของเซตแล้ว) ต่อไปเราก็จะพบว่ามันมีคุณสมบัติ complete lattice แล้วเราก็จะหา fix point ได้

คำถามคือเราจะหา fix point ของจุดไปทำไม ?

ถ้ายังจำได้ คณิตศาสตร์ที่เราเคยเรียนสมัยมัธยม เราจะหาจุดตัด (0,0) ซึ่งเราสามารถจะมองว่าคือ fix point ได้ นี่ก็คือ application นึงของ fix point ค่ะ และไม่ใช่แค่จุดบนระนาบ x,y เราสามารถจะเทียบบน สามมิติ x,y,z หรือ n-dimension ก็ได้

ซึ่งในระบบ dynamic ต่างๆ เราย่อมจะอยากหาเงื่อนไขที่ทำให้มัน stable เราก็นำเอา fix point theory เข้าไปใช้ ไม่ว่าจะเป็น งานด้าน machine vision , computer graphic ก็จะเห็นว่ามีทฤษฎี fix point ค่ะ

รวมถึง สมการ หรือ equation ที่เรารู้จักกันดี นั่นก็คือรูปแบบนึงของ fix point เช่นกัน
เช่น

 เรารู้จักกันในรูปแบบของสมการ ที่เราจะต้องการหาค่าตัวแปร X ว่ามีค่าเท่าไหร่
ซึ่งถ้าเรามองสมการเป็น    

ใช่ไหมคะ

ถ้าเรากำหนดให้   

เราจะพบว่า มันก็คือ fix point ที่เราจะหาจุดที่ f(X)=X นั่นเองค่ะ

หวังว่าคงจะเห็นความสำคัญและเข้าใจทฤษฎี fixpoint มากขึ้นและอ่านหนังสือ logic programming ได้เข้าใจยิ่งขึ้นนะคะ :)

แนวทางศึกษา Logic Programming & Argumentation

กลับมาทำตามสัญญาก่อนปีใหม่ที่จะต้องเขียนบล็อกเกี่ยวกับความรู้เรื่อง Logic Programming + Argumentation ตอนแรกตั้งใจว่าจะให้ตัวเองศึกษาให้จบเรียบร้อยก่อน แล้วจะได้ค่อยๆอธิบายไปตามลำดับ แต่ดูเหมือนว่าเราจะยุ่งกับการเรียนและมีอะไรหลายๆอย่างเกิดขึ้นจนไม่ได้เขียนตามที่คาดหวังไว้

ประจวบเหมาะกับอาจารย์ที่ปรึกษาให้ความกรุณาช่วยอธิบายในคำถามต่างๆที่เกี่ยวกับสิ่งที่เราสงสัยเป็นพิเศษ(เนื่องจากเราบอกอาจารย์ไว้ว่าจะนำสิ่งที่ตัวเองรู้มาโพสเผยแพร่ความรู้ในบล็อก)

วันนี้ก็เลยคิดตั้งใจใหม่ว่า จะเขียนอธิบายเป็นเรื่องๆตามแต่ว่าตัวเราเองกำลังเน้นอ่านเรื่องไหนอยู่ ซึ่งอาจจะกระโดดข้ามไปมา ไม่ได้ตามลำดับของเนื้อหา logic programming หรือ argumentation แต่ว่าสุดท้ายแล้วจะพยายามทำลิงก์เนื้อหารวมกันไว้ในหน้าๆเดียวให้ค่ะ

ซึ่งข้อดีก็คือสำหรับผู้อ่านที่สนใจศึกษา logic programming และ argumentation จะได้ศึกษาไปพร้อมๆกันกับเราเองด้วย และเราเองก็จะได้อัพเดทบล็อกโดยใช้เวลาไม่มากได้ ซึ่งจะดีกว่าที่เราจะต้องรอให้ตัวเองพร้อมแล้วค่อยมาเรียบเรียงเนื้อหาจากต้นจนจบ เหมือนกับการเขียนหนังสือ ซึ่งจะทำให้เราเองก็จะไม่พร้อมสักที ถ้าท่านใดที่สนใจหลงเข้ามาอ่าน ^ ^ หวังว่าคงเข้าใจเจตนาของเรานะคะ และถ้ามีคำถามอะไรสงสัย ยินดีที่ช่วยตอบค่ะ แต่ขอบอกก่อนเลยนะคะว่าเราเองก็มือใหม่เหมือนกัน :)

ดังนั้นขอให้โพสนี้เป็นที่รวมบล็อกของเราไล่ลำดับเนื้อหาเกี่ยวกับ logic programming และ argumentation ละกันนะคะ

1. หนังสือแนะนำ อ่านได้ ที่นี่ ค่ะ
2. เปเปอร์เกี่ยวกับ Argumentation ที่นี่
3. โพสเรื่อง Mathematical Logic + Natural Deduction ที่ลิงก์นี้
• พื้นฐาน
• ต่อ
• สรุป 
4. โพสเรื่อง Logic Programming 
• Complete Lattice & Fixpoint Theory
5. โพสเรื่อง Argumentation
• Introduction
• Abstract Argumentation Framework
• Assumption Based Argumentation Framework 

โพสเก็บตก

• Symbolic logic and Classical logic ต่างกันยังไง
• Closure and Consistency คืออะไร